2 ESERCIZI Insiemi numerici e operazioni elementari 453 Per ognuna delle seguenti formule individua al- meno un numero razionale p che la verifichi: 1 a. p = __ b. p = p c. p = p2 p 459 Un ragazzo usa indicare le ore utilizzando la nota- zione decimale anche per le parti di ora (per cui, per esempio, le otto e un quarto sono da lui indicate come ore 8,25 ). A quali ore corrispondono le seguenti scritture? a. 11,5 b. 9,¯ 3 c. 15,75 454 Per ognuna delle seguenti formule individua al- meno un numero razionale p che la verifichi: a. 0 p2 1 2 b. _____ < p < _____ 1000 1000 455 ARGOMENTA Spiega perché un insieme con ordina- [a. 11:30; b. 9:20; c. 15:45] a 460 Dimostra che, se la frazione __ è equivalente alla b c a frazione __, allora anche la frazione __ è equivalend c b te alla frazione __. _a_ equivalente a _c_ a d = b c d [b d mento denso ha necessariamente infiniti elementi, mentre non è vero che un insieme con ordinamento discreto ha necessariamente un numero finito di elementi. 456 Dimostra che non esistono numeri razionali che verificano le seguenti formule: 1 a. p2 = 2 b. p = __ p b a a d = c b __ equivalente a __] c d 461 Supponendo che a, b, c siano numeri naturali di- stinti, diversi da 0 e in ordine crescente, disponi in ordine crescente i seguenti numeri razionali: c _a_ _a_ _b_ _b_ _c_ _a_ _a_ _b_ _b_ __ [ c ; b; c ; a; a] b c a c a 457 Come deve essere un numero razionale affinché il suo quadrato sia un numero naturale? 462 Stabilisci se l insieme formato dalle frazioni con numeratore 1 e denominatori appartenenti a N0 è infinito, se è totalmente ordinato e se è denso oppure discreto. Trova in tale insieme due frazioni a e b la cui differenza sia minore di 0,001. possibile trovare altre due frazioni c e d la cui differenza sia minore di quella tra a e b? Comunque si fissi un numero piccolissimo, è possibile trovare due frazioni la cui differenza sia mi[l insieme è infinito, nore del numero prefissato? 458 Un insegnante, nell attribuire i voti, utilizza i se- 1 gni convenzionali +, e __. Supponendo che + 2 1 valga +0,20, valga 0,20 e __ valga +0,5, stabi2 lisci: a. quale media aritmetica si avrebbe se si fossero 1 presi i seguenti voti: 5 __, 7 , 6+; 2 b. quali e quante possibili votazioni intermedie ci sono tra il 5 e il 6 se si possono usare fino a due e fino a due +. totalmente ordinato e denso, comunque si fissi un numero piccolissimo, è sempre possibile trovare due frazioni la cui differenza sia minore del numero prefissato] _1_ [a. 6,1; b. 5+, 5 2 ; 5+ +, 6 , 6 ] 6 L insieme dei numeri reali: R Teoria da pag. 93 PER FISSARE I CONCETTI 463 Quando due segmenti si dicono incommensurabi- li? Fai l esempio di due segmenti tra loro incommensurabili. 464 Qual è la lunghezza della diagonale di un quadra- to di lato 1 m? 465 Fai l esempio di un numero irrazionale positivo e __ 466 ARGOMENTA che 2 non è un numero razionale. 467 Fai l esempio di un numero irrazionale negativo e stabilisci tra quali numeri interi successivi è compreso. 468 Come sono le cifre decimali di un numero irrazio- nale? stabilisci tra quali numeri naturali successivi è compreso. 133