2.4 Il prodotto cartesiano

1 Insiemi, proposizioni e relazioni Se due insiemi finiti A e B hanno rispettivamente n ed m elementi e se essi hanno k elementi in comune, possiamo scrivere: #A = n #B = m #(A B) = k L unione dei due insiemi ha allora n + m k elementi. Infatti, dalla somma n + m, vanno tolti i k elementi comuni ai due insiemi, che altrimenti sarebbero contati due volte: #(A B) = n + m k FISSA I CONCETTI I diagrammi di Eulero-Venn sono utili per visualizzare alcune relazioni tra insiemi. 2.4 Il prodotto cartesiano In alcune materie, quali per esempio italiano e inglese, negli scrutini intermedi non si riceve un solo voto, ma due, uno per lo scritto l altro per l orale. Si riceve cioè una coppia ordinata di voti. Teoricamente sono possibili dieci voti per lo scritto e dieci per l orale e dunque le possibili coppie ordinate di voti sono 10 10 = 100; l elenco (parziale) degli elementi dell insieme dei possibili voti in italiano è: V = {(1 ; 1), (1 ; 2), , (5 ; 5), (5 ; 6), , (6 ; 6), (6 ; 7), , (10 ; 9), (10 ; 10)} DEFINIZIONE Dati due insiemi A e B si dice prodotto cartesiano dei due insiemi l insieme formato dalle coppie ordinate (a ; b), in cui a A e b B. Si indica con A B. KEYWORDS K p prodotto cartesiano / cartesian product or cross product Nell esempio, l insieme dei possibili voti in pagella è costruito a partire dai voti per lo scritto e da quelli per l orale: S = {numeri interi da 1 a 10} O = {numeri interi da 1 a 10} V=S O Le coppie sono ordinate perché i due numeri hanno ruoli e significati diversi: è diverso, per esempio, avere (4 ; 6), cioè 4 allo scritto e 6 all orale, oppure (6 ; 4). esempio O Elenca gli elementi del prodotto cartesiano degli insiemi A = {1, 2} e B = {x, y, z} Quanti sono? Abbiamo: A B = {(1 ; x), (1 ; y), (1 ; z), (2 ; x), (2 ; y), (2 ; z)} Complessivamente: #(A B) = #A #B = 2 3 = 6 Se A è un insieme di n elementi e B è un insieme di m elementi, il prodotto cartesiano A B ha n m elementi. Il numero di elementi del prodotto cartesiano di due insiemi è, quindi, dato dal prodotto tra il rispettivo numero di elementi di ciascuno di essi. Come già sai, quando si indica il prodotto tra due numeri o tra le lettere che li rappresentano si preferisce usare il puntino per indicare la moltiplicazione: il tradizionale simbolo viene riservato per indicare il prodotto cartesiano tra due insiemi. FISSA I CONCETTI Indichiamo il prodotto cartesiano con A B, cioè l'insieme delle coppie ordinate (a ; b) con a A e b B. A B B A. 13

Il Maraschini-Palma - volume 1
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CAPITOLI DEMO: Insiemi, proposizioni e relazioni; Trasformazioni geometriche nel piano.