Nel sistema binario, così come negli altri sistemi di numerazione, possono essere definite le quattro operazioni aritmetiche fondamentali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.
I procedimenti di calcolo seguono le stesse regole del sistema in base 10 con la differenza che l’abaco utilizzato è quello binario.
L’addizione è l’operazione aritmetica che aggiunge numeri fra loro, ottenendo come risultato la loro somma. I numeri che vengono addizionati si chiamano addendi. L’elemento neutro dell’addizione è lo 0. Se si aggiunge 0 in un’addizione, il risultato resta invariato.
Quando gli addendi sono 0 o 1 è possibile eseguire le addizioni in riga applicando la regola dell’abaco e otteniamo:
Se, invece, vogliamo addizionare dei numeri composti da più di una cifra dobbiamo procedere con un’addizione in colonna tenendo conto del valore posizionale delle cifre: i numeri vengono riscritti incolonnando unità con unità, duìne con duìne ecc. L’incolonnamento consente di suddividere la somma complessiva in tante somme in colonna, ciascuna composta solo da 0 e 1.
Calcoliamo la seguente addizione: 11001010012 + 1001110102
Riscriviamo i due numeri incolonnati e sommiamo le cifre colonna per colonna, tenendo conto dei riporti (segnati in rosso).
La sottrazione è l’operazione aritmetica che calcola la differenza tra due numeri: il primo numero si chiama minuendo, il secondo numero si chiama sottraendo e il risultato si chiama differenza.
Nel caso della sottrazione, così come accade per l’addizione, il procedimento di calcolo segue le stesse regole del sistema decimale ma utilizzando l’abaco binario.
È possibile eseguire le sottrazioni in riga applicando la regola dell’abaco nel modo seguente:
Se le cifre che compongono i numeri sono tante si usa la sottrazione in colonna tenendo conto del valore posizionale delle cifre: i numeri vengono riscritti incolonnando unità con unità, duìne con duìne ecc. L’incolonnamento consente di suddividere la differenza complessiva in tante differenze in colonna, ciascuna composta solo da 0 e 1.
Calcoliamo la seguente differenza: 100101012 – 11011002
Riscriviamo i due numeri incolonnati e sottraiamo le cifre una a una, tenendo conto del valore posizionale delle cifre e, se occorre, dei prestiti.
La moltiplicazione è l’operazione aritmetica che moltiplica due o più numeri fra loro, ottenendo come risultato il loro prodotto. I numeri che vengono moltiplicati si chiamano fattori. L’elemento neutro della moltiplicazione è 1. Moltiplicando qualunque numero per 1, si ottiene lo stesso numero.
È possibile eseguire le moltiplicazioni in riga applicando la regola dell’abaco binario nel modo seguente:
Se, invece, vogliamo moltiplicare numeri con più cifre, si utilizza la moltiplicazione in colonna tenendo conto del valore posizionale delle cifre: i numeri vengono riscritti incolonnando unità con unità, duìne con duìne ecc. L’incolonnamento consente di suddividere il prodotto complessivo in tanti prodotti, ciascuno composto solamente da 0 e 1.
Calcoliamo il seguente prodotto: 100112 × 1012
Riscriviamo i due numeri incolonnati e moltiplichiamo le cifre una a una.
| 1 | 0 | 0 | 1 | 12 | x | ||
| 1 | 0 | 12 | = | ||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | ||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | - | - | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 12 |
|
La divisione è l’operazione aritmetica inversa alla moltiplicazione: il primo numero si chiama dividendo, il secondo numero si chiama divisore. Il risultato si chiama quoziente. L’elemento neutro della divisione è 1. Quando il divisore è 1, il quoziente è sempre uguale al dividendo.
È possibile eseguire le divisioni in riga applicando la regola dell’abaco binario nel modo seguente:
È impossibile dividere qualsiasi numero per 0; la forma 0/0 risulta invece indefinita.
Per operazioni con più cifre, si utilizza la divisione in colonna tenendo conto del valore posizionale delle cifre.
Calcoliamo la divisione: 101112 : 1112
Il divisore 1112 non sta in 12, in 102, ma nemmeno in 1012, quindi si considera il 10112 come primo numero maggiore o uguale del divisore. I passaggi successivi si svolgono in modo analogo, seguendo le regole delle divisioni in colonna.
Il risultato della divisione è 112 con resto 102.
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