1 I SISTEMI DI NUMERAZIONE

1 I SISTEMI DI NUMERAZIONE

Il sistema di numerazione decimale

Il ▶ sistema decimale è un sistema di numerazione in base 10, cioè un metodo che utilizza 10 cifre per rappresentare le quantità.


L’“alfabeto” usato dal sistema decimale è costituito da 10 simboli:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Per capire bene di che cosa si sta parlando, è molto importante comprendere la differenza fra la quantità e la sua rappresentazione.


Per esempio, se un vaso di vetro contiene nove palline in Italia possiamo scrivere che essa contiene: 9 palline, ma in Cina si scriverebbe che le palline sono: 九

La quantità di palline è sempre la stessa, ma i modi per rappresentare quella quantità sono tanti.


Il sistema decimale utilizza 10 simboli (le cifre da 0 a 9) per rappresentare le quantità. Se la quantità da rappresentare ha il suo simbolo corrispondente all’interno dell’“alfabeto”, il sistema decimale utilizza quel simbolo.


Quantità

Rappresentazione in base 10

0

1

2

...

....

9

Per quantità superiori a 9, poiché un singolo simbolo per rappresentarle non esiste, il sistema decimale combina fra di loro più simboli.

Per rappresentare in forma visiva i numeri e comprendere come si combinano tra loro i simboli, si usa l’abaco.


Le aste dell’abaco, in base 10, possono contenere al massimo 9 palline; la decima pallina fa trasformare, per esempio, 10 unità (u) in 1 decina (da). La pallina che rappresenta la decina trova posto sulla prima asta a sinistra rispetto a quella delle unità.


La rappresentazione di quantità superiori a nove è indicata nella tabella seguente.


Quantità

Rappresentazione in base 10

10

11

12

...

...

Il sistema decimale è un sistema di numerazione posizionale perché i simboli (cifre) usati per scrivere i numeri assumono un valore differente a seconda della posizione che occupano nel numero.


esempio

Il numero 123 è diverso dal numero 312 anche se le cifre che compongono i due numeri sono le stesse. Nel numero 123 sono presenti:



Possiamo dire che nel numero 123 ci sono tre 1, due 10 e un 100.

Osservando che:

1 = 100

10 = 101

100 = 102


possiamo, scrivere che:

123 = 3 × 100 + 2 × 101 + 1 × 102


Infatti:

3 × 100 + 2 × 101 + 1 × 102 = 3 × 1 + 2 × 10 + 1 × 100 = 3 + 20 + 100 = 123

Possiamo quindi concludere che conoscendo quante unità, decine e centinaia compongono il numero che rappresenta la quantità di palline in un vaso, è possibile ottenere la quantità di palline.

Si può pensare anche di effettuare l’operazione inversa, cioè conoscendo la quantità di palline contenuta in un vaso, è possibile ottenere quante unità, decine e centinaia sono presenti nel numero che rappresenta quella quantità.

Per ricavare questa informazione occorre dividere le palline in gruppi da dieci unità in modo tale da individuare tutte le decine che si possono ottenere. Le palline che avanzano (che restano) rappresenteranno le unità sull’abaco.

Togliendo le unità e posizionandole sull’apposita astina dell’abaco, è possibile sostituire a ognuna delle decine rimaste una pallina di colore diverso (per esempio rosso) e dividere nuovamente le palline in gruppi da 10.

Le palline che restano sono le decine e vanno posizionate sulla seconda astina dell’abaco. I gruppi di 10 palline rimasti, possono essere convertiti nelle centinaia.


esempio

Se prendiamo in considerazione nuovamente il numero 123 e suddividiamo le palline con il procedimento appena descritto otteniamo i seguenti gruppi.


L’operazione matematica che è stata effettuata è una divisione per la base del sistema di numerazione utilizzato (in particolare si tratta di una divisione per contenenza): i quozienti rappresentano le palline che vengono convertite nella pallina di valore successivo (con colore diverso), mentre i resti (che andranno poi letti in verso contrario) rappresentano quante unità, decine e centinaia consentono di scrivere la quantità di partenza.

Lo sapevi che

Gli antichi romani usavano un sistema di numerazione non posizionale.

Per esempio i numeri IV e VI rappresentano rispettivamente 4 e 6, ma il simbolo I vale 1 indipendentemente dalla sua posizione nel numero: il valore di I è sempre pari a un’unità sia quando viene messo a sinistra del cinque V sia quando viene posto alla sua destra. Quindi: IV = 4 e VI =6

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Il sistema di numerazione binario

Il  sistema binario è un sistema di numerazione in base 2, cioè un metodo che utilizza 2 cifre per rappresentare le quantità.


L’“alfabeto” usato dal sistema binario è pertanto costituito da 2 simboli:

0 1

La quantità di nove palline contenuta nel vaso considerata in precedenza, nel sistema binario non può essere scritta con il simbolo 9 perché non è compreso fra quelli disponibili in questo sistema.

Se la quantità da rappresentare ha il suo simbolo corrispondente all’interno dell’“alfabeto”, il sistema binario utilizza quel simbolo; per quantità superiori a 1, invece, combina fra di loro più simboli utilizzando l’abaco del sistema binario.


Sulle aste dell’abaco binario (base 2) può trovare posto al massimo 1 pallina; la seconda pallina fa trasformare, per esempio, 2 unità (u) in una duìna (du).

La seguente tabella riporta alcune quantità e la loro rappresentazione sia nel sistema decimale sia in quello binario. Osserviamo che nelle prime due righe della tabella le due rappresentazioni coincidono.


Quantità

Rappresentazione in base 10

Rappresentazione in base 2

0

0

1

1

2

10

3

11


4

100


5

101


6

110


7

111


8

1000


Per rappresentare la stessa quantità nel sistema binario, sono necessarie più cifre rispetto a quante ne siano necessarie nel sistema decimale.

Esistono importanti analogie fra il sistema di numerazione in base 10 e il sistema di numerazione in base 2; queste analogie caratterizzano anche tutti gli altri sistemi di numerazione posizionali.

 >> pagina 60 

dal sistema decimale al sistema binario

Il sistema binario è un sistema di numerazione posizionale perché i simboli (cifre) usati per scrivere i numeri assumono un valore differente a seconda della posizione che occupano nel numero.


Usando l’abaco binario, siamo in grado di rappresentare qualunque quantità: posizionando pazientemente le palline ed effettuando le successive trasformazioni possiamo ottenere la rappresentazione in base 2 della quantità desiderata.

Tuttavia se la quantità da rappresentare è molto grande, il procedimento per ottenere la sua rappresentazione potrebbe risultare molto lungo.

Per velocizzare questa procedura si utilizzano metodi matematici che consentono di convertire un numero in base 10 in un numero in base 2 e viceversa, senza dover utilizzare gli abachi.


esempio

Convertiamo il numero 3510 nella sua rappresentazione binaria.


Il procedimento da attuare è il seguente:

  • si eseguono delle divisioni successive per la base 2;
  • ci si ferma quando il quoziente diventa zero.


I resti delle divisioni, letti da destra verso sinistra, forniscono le cifre del numero binario cercato, quindi: 3510 = 1000112

Questo procedimento deriva da un ragionamento analogo a quello seguito per la base decimale.

Dividendo le 35 palline in gruppi da due unità si individuano tutte le duìne che si possono ottenere.



Le palline che restano (in questo caso una) rappresentano le unità sull’abaco.

Immaginando di togliere l’unità avanzata, posizionandola sull’astina delle unità dell’abaco binario, è possibile convertire le duìne rimaste nelle corrispondenti palline successive e dividere nuovamente le palline in gruppi da due.



Le palline che restano (di nuovo una) sono le duìne che vanno posizionate sulla seconda astina dell’abaco.

I gruppi di 2 palline rimasti, possono essere convertiti nelle palline successive e nuovamente raccolte a coppie.



Questa volta restano zero palline, quindi la corrispondente astina dell’abaco binario rimane vuota.

E così via, si trasformano le quattro coppie.



Non restano palline.

Si raggruppano le coppie.



Non restano palline.

E infine raggruppando per due, resta una pallina.

  prova tu

Trasforma i seguenti numeri decimali in numeri binari.

  • 31910
  • 57810
  • 82310
 >> pagina 62

dal sistema binario al sistema decimale

La conversione di un numero in base 2 in un numero in base 10 si ottiene applicando un metodo matematico diverso rispetto a quello appena descritto.


esempio

Convertiamo il numero binario 1101012 nella sua equivalente notazione decimale.

Con considerazioni analoghe alle precedenti, poiché la base è 2, possiamo dire che in 110101 ci sono un 20 , zero 21 , un 22 , zero 23, un 24 e un 25.

Per rappresentare questo concetto, si può utilizzare una griglia. All’interno di ogni casella scriviamo una cifra del numero binario da convertire in base 10.


1 1 0 1 0 1
25 24 23 22 21 20

Abbiamo quindi che:

1101012 =

= 1 × 20 + 0 × 21 + 1 × 22 + 0 × 23 + 1 × 24 + 1 × 25 =

= 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × 4 + 0 × 8 + 1 × 16 + 1 × 32 =

= 1 + 0 + 4 + 0 + 16 + 32 = 5310

Il sistema di numerazione ottale

Il  sistema ottale è un sistema di numerazione in base 8, cioè un metodo che utilizza 8 cifre per rappresentare le quantità.


L’“alfabeto” usato dal sistema ottale è pertanto costituito da 8 simboli:

0 1 2 3 4 5 6 7

Il sistema ottale utilizza e combina fra di loro le cifre da 0 a 7 per rappresentare le quantità ed è un sistema di numerazione posizionale.

In analogia con gli altri sistemi di numerazione descritti, l’abaco del sistema ottale ha le aste che possono contenere, ciascuna, al massimo 7 palline; la pallina successiva introdotta sull’asta fa convertire, per esempio, 8 unità (u) in 1 ottina (ot).

I primi otto numeri dei sistemi decimale e ottale hanno una rappresentazione coincidente perché entrambi i sistemi dispongono dello stesso simbolo per indicare la stessa quantità. Successivamente le rappresentazioni si differenziano: il numero 810 si indica con 108, il numero 910 si indica con 118 ecc.


La base 8 non ha particolari applicazioni pratiche, ma suggerisce alcune riflessioni riguardo al funzionamento dei sistemi di numerazione. Per esempio si può osservare che per rappresentare la stessa quantità con il sistema ottale, sono necessarie più cifre rispetto al sistema decimale, ma meno cifre rispetto al sistema binario.

Lo sapevi che

Le mani dei personaggi dei disegni animati, soprattutto quelli umoristici, spesso hanno solo quattro dita: in questo modo sono più facili da disegnare e gli spettatori non ci fanno molto caso.

Se Topolino usasse le dita per contare, userebbe il sistema ottale e conterebbe in base 8!

 >> pagina 63

dal sistema decimale al sistema ottale

Per convertire un numero da sistema decimale a sistema ottale si segue un procedimento analogo alla trasformazione da decimale a binario, ma le divisioni si eseguono in base 8.


esempio

Convertiamo il numero 2810 nella sua rappresentazione ottale. Si eseguono delle divisioni successive per la base 8; ci si ferma quando il quoziente diventa zero.


I resti delle divisioni, letti da destra verso sinistra, forniscono le cifre del numero binario cercato, quindi: 2810 = 348


dal sistema ottale al sistema decimale

Per trasformare un numero dal sistema ottale al sistema decimale si usa una griglia analoga a quella usata per la base 2.


esempio

Convertiamo il numero 7128 nella sua equivalente notazione decimale, con considerazioni analoghe alle precedenti, poiché la base è 8, possiamo dire che in 712 ci sono due 80, un 81 e sette 82.

Come per la trasformazione da binario a decimale, possiamo utilizzare una griglia, usando questa volta la base 8; all’interno di ogni casella scriviamo una cifra del numero ottale da convertire in base 10.


 7   1   2 
82 81 80

Abbiamo quindi che:
7128 = 2 × 80 + 1 × 81 + 7 × 82 =
= 2 × 1 + 1 × 8 + 7 × 64 =
= 2 + 8 + 448 = 45810
  prova tu

Trasforma i seguenti numeri decimali in numeri ottali.

  • 31510
  • 12610
  • 41310

Trasforma i seguenti numeri ottali in numeri decimali.

  • 7328
  • 6158
  • 1228

Il sistema di numerazione esadecimale

Il  sistema esadecimale è un sistema di numerazione in base 16, cioè un metodo che utilizza 16 cifre per rappresentare le quantità.


L’”alfabeto“ usato dal sistema esadecimale è pertanto costituito da 16 simboli; dato che quando si arriva al 9 non esistono altre cifre numeriche, si utilizzano le prime lettere dell’alfabeto:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Le quantità superiori al 9 non possono essere rappresentate come combinazione dei simboli da 0 a 9 perché altrimenti si ricadrebbe nella notazione decimale. Quindi per rappresentare la quantità 10 si utilizza il simbolo A, per rappresentare 11 si utilizza il simbolo B ecc.

Esempi di numeri in base 16 sono 5A2D16, 31416 e BC16.

Il sistema di numerazione esadecimale funziona in modo analogo a quello degli altri sistemi di numerazione: i 16 simboli disponibili (cifre da 0 a F) vengono utilizzati e combinati fra di loro per rappresentare le quantità seguendo le regole dei sistemi di numerazione posizionali.

L’abaco del sistema esadecimale ha le aste in base 16, che possono contenere, ciascuna, al massimo 15 palline; la pallina successiva introdotta sull’asta fa convertire, per esempio, 16 unità (u) in 1 sedicina (se).


I primi dieci numeri dei sistemi decimale ed esadecimale hanno rappresentazione coincidente perché entrambi i sistemi dispongono degli stessi simboli per indicare le stesse quantità. Successivamente le rappresentazioni si differenziano: la base 16 dispone di altri sei simboli, mentre la base 10 comincia a combinare le cifre disponibili.

Nella seguente tabella sono messe a confronto le rappresentazioni delle stesse quantità nei diversi sistemi di numerazione descritti.


Rappresentazione in base 10

Rappresentazione in base 2

Rappresentazione in base 8

Rappresentazione in base 16

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

17

10001

21

11


La base 16 consente di rappresentare le quantità utilizzando meno cifre rispetto al sistema decimale (così come rispetto al sistema binario e ottale) questo può costituire, soprattutto per numeri elevati, un vantaggio che spesso viene sfruttato in ambito informatico.

 >> pagina 65

dal sistema decimale al sistema esadecimale

Per convertire un numero dal sistema decimale al sistema esadecimale si segue un procedimento analogo alle trasformazioni da decimale a binario e da decimale a ottale, ma le divisioni si eseguono in base 16.

esempio

Convertiamo il numero 99310 nella sua rappresentazione esadecimale. Si eseguono delle divisioni successive per la base 16; ci si ferma quando il quoziente diventa zero.

I resti delle divisioni, letti da destra verso sinistra, forniscono le cifre del numero esadecimale cercato: 99310 = 3E116


dal sistema esadecimale al sistema decimale

Per trasformare un numero dal sistema esadecimale al sistema decimale si usa una griglia analoga a quelle precedenti.

esempio

Convertiamo il numero esadecimale F1916 nella sua equivalente notazione decimale, con considerazioni analoghe alle precedenti, poiché la base è 16, possiamo dire che in F19 ci sono nove 160, un 161 e F (cioè una quantità pari a quindici) 162. Utilizzando la griglia, è possibile scrivere:


  F  

  1  

  9  

162

161

160


Avremo quindi che:

F1916 = 9 × 160 + 1 × 161 + F × 162 = 9 × 160 + 1 × 161 + 15 × 162 =

= 9 × 1 + 1 × 16 + 15 × 256 = 9 + 16 + 3840 = 386510

  prova tu

Trasforma i seguenti numeri decimali in numeri esadecimali.

  • 142310
  • 341510
  • 631210

Trasforma i seguenti numeri esadecimali in numeri decimali.

  • 3DA16
  • FC116
  • 27116

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